計算の工夫 - Dejaのつぶやき

先日、時々コメントをくださる Riko さんのブログに二桁の数字の掛け算についてコメントしたのですが、証明はコメント欄には長すぎるので、ここで改めて紹介することにしました。二桁の数字の掛け算と言っても、ここでは特殊な場合を取り上げます。

　＜１０の位が同じで、１の位を足すと１０になる数字の掛け算＞

二桁の数字同士の掛け算で、１０の位が同じで、１の位が足すと１０になる数字（８８と８２とか、３４と３６など）の場合は簡単です。

１０の位の片方の数字に１を足し、１０の位同士を掛け合わせたものが１０００と１００の位。１の位の方はそのまま掛け合わせて、１０と１の位になります。(１０の位の方は、数字によっては答えに１０００の位がない場合もあります。)

８８と８２なら、８ x（８＋１）＝７２、８ x ２＝１６なので、答えは７２１６です。

３４と３６なら、３ x (３＋１) ＝１２、４ x ６＝２４なので、答えは１２２４になります。

何故か？ちょっと数学 (というか算数) らしく証明してみましょう。

まず、２つの数字を次にように表します。

１０の位の数字＝ X
片方の１の位の数字＝ Y
とすると、２つの数字はそれぞれ　(１０X ＋ Y) と {１０X ＋ (１０ − Y)} となります。

また、ここでは乗数を E で表して、たとえば５の二乗を５(E２) と表すことにします。

それでは、この２つの数字を掛けてみましょう。

(１０X ＋ Y) x {１０X ＋ (１０ − Y)}
　＝ (１０X ＋ Y) x {(１０X − Y) ＋１０}
　＝ {(１０X ＋ Y) x (１０X − Y)} ＋ (１０X ＋ Y) x １０

　ここで、(A ＋ B) x (A − B) ＝ A(E２) − B(E２) という公式を使います。

　＝ {(１０X)(E２) − Y(E２)} ＋１００X ＋１０Y
　＝１００X(E２) − Y(E２) ＋１００X ＋１０Y
　＝ {１００X(E２) ＋１００X} ＋ {１０Y − Y(E２) }
　＝ {(１００X) x (X ＋１)} ＋ (１０ − Y)Y
　＝１０X x {１０(X ＋１)} ＋ (１０ − Y)Y

この式を見みると、

１）. １０X x {１０(X ＋１) の部分は「１０の位の片方の数字に１を足し、１０の位同士を掛け合わせたもの」で、

２）. (１０ − Y)Y の部分は「１の位の方はそのまま掛け合わせ」たものですね。だって、一方の１の位の数字が Y ならば、もう一方の１の位は (１０ − Y) なんですから。
実際に３４と３６の掛け算で試してみると、X ＝３、Y ＝４ (または６) なので、

３４ x ３６
　＝(３０ x ４０) ＋ (６ x ４)
　＝(３ x ４) x １００＋ (６ x ４)
　＝１２ x １００＋２４
　＝１２２４

ということで、めでたく証明できました。

　＜１０の位が同じ数字の掛け算 (１の位の数字は何でもあり)＞

これを応用して、１０の位が同じで、１の位の和が１０にならない場合も含めて考えましょう。例えば７６ x ７８とか７６ x ７２など。この場合、２つの数字は１０X ＋ Y と１０X ＋ Z と表すことができます。そして、１の位の数字の和から１０を引いた値を D とします。つまり、
(Y ＋ Z − １０) ＝ D と置きます。

それでは、これを上の例のように展開してみましょう。

(１０X ＋ Y) x (１０X ＋ Z)
　＝１００X(E２) ＋１０XZ ＋１０XY ＋ YZ
　＝１００X(E２) ＋１０X(Z ＋ Y) ＋ YZ

　ここで、(Y ＋ Z − １０) ＝ D は Y ＋ Z ＝ D ＋１０と書けるので、

　＝１００X(E２) ＋１０X(D ＋１０) ＋ YZ
　＝１０X x {１０X ＋ (D ＋１０)} ＋ YZ
　＝１０X x {１０X ＋１０＋ D} ＋ YZ
　＝１０X x {１０(X ＋１) ＋ D} ＋ YZ
　＝１０X x {１０(X ＋１)} ＋１０XD ＋ YZ
この式を見ると、

　１）. １０X x {１０(X ＋１) の部分は「１０の位の片方の数字に１を足し、１０の位同士を掛け合わせたもの」で、

　２）. １０XD の部分は、「１の位の数字の和から１０を引いたもの (マイナスの場合もあります) に１０の位 (１０の位の数字そのものでなく、１０の位として) を掛けたもの」で、

　３）. (１０ − Y)Y の部分は「１の位の方はそのまま掛け合わせ」たものです。

これは、Riko さんのブログで白樺さんが書かれた考え方が正しいことを意味します。また、１の位の数字の和が１０の場合は D ＝０なので、真ん中の項を省略でき、YZ も YZ ＝ Y x (１０ − Y) と書けるので、最初に証明した式になります。つまり、こちらの方が一般的な式と言えます。

１０の位が同じ２桁の数字の掛け算は、すべてこれさえ覚えておけば簡単に計算できます。慣れれば暗算であっと言う間に答えられるでしょう。知っていると知らないとでは、苦労が随分違う訳です。数学や物理をやっている人間は、面倒なことが嫌いなので、なるべく苦労しない工夫をします。だから計算もさほど苦にならないんですね。

それから、インドでは二桁の掛け算 (２０ X ２０くらいまでらしいですが) を暗唱するようです。で、同じ計算の工夫でも、ちょっと考え方は違うようです。インド式の場合、二桁の掛け算を４つの四角形の面積の和として考えます。この方式だと、例えば６４ x ８３のように、１０の位が違う場合でも使えます。つまり、すべての二桁の掛け算で使えるわけです *1。でも、１０の位が同じ場合のように、簡単にできるものであれば、楽な方法で計算する方が速いし間違いも少ないという利点があります。

日本でも、最近は九九の暗記よりも二桁の数字の暗唱を覚えることが流行っているようです。それはそれで頭の体操になりますが、もっと工夫することの面白さ、そしてそれが「楽」だということを教えるのも必要じゃないでしょうか？「必要は発明の母」という言葉があるように、便利さ、楽さを追求することは、決して悪いことじゃありません。いわゆる「スマート」なやり方であって、実際に科学技術が発展してきた原動力なのですから。そして、(例えば２桁の３つの数字の掛け算＝立法体の体積を) もっと楽に計算するにはどうしたらいいかを自分で考えさせるようにすれば、日本の数学や算数の教育は楽しいものになって、理系離れも防げるのではないでしょうか？

まずは子供に興味を持たせること。これが一番大事だと思います。だから、こうした一見トリックに見えるようなことから入っていけば、子供は自分から楽しんで数学を勉強すると思いますよ。

*1:たとえば６４ x ８３の場合、たて横の長さがそれぞれ６４と８３の四角形を考えます。１の位の端数は面倒なので、まず切りのいい６０ x ８０の部分を計算します。残った (四角形の) 部分は、８０ x (６４ − ６０)、６０ x (８３ − ８０)、(６４ − ６０) x (８３ − ８０) という３つの部分に分けられます。なので、それぞれの合計を足せば答えが出ます。慣れれば暗算でぱっと答えが出ます。